Как решать логарифмические неравенства с квадратом


Простейшее логарифмическое неравенство сводится к одной из двух систем неравенств:

    1 случай. Если a > 1. 2 случай. Если , 0 < a < 1 .
Пример 1. Решить неравенство. Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем левую часть: и решим систему неравенств: Обращаем ваше внимание на то, что положительным должно быть каждое логарифмируемое выражение, а не только их произведение. Ответ. (1; 3). Пример 2. Решить неравенство. Решение. Поскольку решаем неравенство Оно равносильно системе: Заметим, что первое неравенство можно не решать, так как оно заведомо будет верным для всех решений второго неравенства. Тогда Ответ. Составим схемы равносильных преобразований для решения неравенств следующего вида.
  1. Решение. где
  2. Решение.
  3. Решение.
  4. Решение.
  5. Решение.
  6. Решение.
  7. Решение.
  8. Решение.
  9. Решение.
Комментарий. Если основание логарифма переменно и может принимать значения как меньшие, так и большие 1, нужно рассмотреть эти ситуации отдельно, так как в первом случае знак неравенства не меняется при переходе к аргументам, а во втором – меняется на обратный. Пример 3. Решить неравенство. Решение. Запишем неравенство в виде: (учитываем, что x > 0. поэтому ).
    1 случай. 2 случай.
Ответ. Пример 4. Решить неравенство. Решение. Пусть тогда и для t получаем неравенство: Не забудьте, что в дробно-рациональном неравенстве важен знак не только числителя, но и знаменателя дроби, и решать его лучше всего методом интервалов (самая распространенная ошибка на этом этапе решения – «отбрасывание» знаменателя). Корни числителя: и 2, корень знаменателя – 0, и знак дроби распределяется на интервалах так: Следовательно, или (корень знаменателя, разумеется, в ответ не входит). 1 случай. 2 случай. Ответ. Пример 5. Решить неравенство. Сделаем замену: t = log 2 x и решим для t иррациональное неравенство .
    1 случай. решений нет. 2 случай.
Обратная замена: Ответ. Пример 6. Решить неравенство. Решение. Определим ОДЗ: и перейдем в обоих логарифмах к основанию 2: Найдем корни числителя и знаменателя:
    1 случай. 2 случай. не входит в ОДЗ.
(само это значение тоже не входит в ОДЗ, но слева и справа от него определены все функции, присутствующие в неравенстве, и один из множителей знаменателя в этой точке меняет знак).

Итак, в рамках ОДЗ дробь меняет знак трижды: в точках и Расставим знаки на интервалах. При (точка, расположенная на самом правом интервале) х – 3 = 0,75 < 1, 23 – 6x = 0,5 < 1, - 6x 2 + 41x – 69 = 0,375 < 1. поэтому все три логарифма, входящие в последнюю форму неравенства, отрицательны; соответственно, отрицательна и сама дробь. Ответ. Пример 7. Решить неравенство. Решение. Превратим простейшее неравенство в систему: и перейдем к любому постоянному основанию (например, 2): Решим второе и третье неравенства методом интервалов.

    1 случай. Решение второго неравенства: 2 случай. корень знаменателя ( х = 0 ) тот же, что в предыдущем неравенстве. Решение:
Окончательным решением будет пересечение полученных промежутков: Ответ. Пример 8. Решить неравенство. Решение. ОДЗ: Преобразуем первый логарифм: Тогда Решим полученное неравенство методом интервалов:
    1 случай. не входит в ОДЗ. 2 случай. точка, лежащая внутри ОДЗ.
Расставим знаки (при х = 10. то есть на самом правом из полученных промежутков, числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, то есть вся дробь отрицательна). Ответ. . Пример 9. Решить неравенство. Решение. Найдем ОДЗ: . Перейдем к основанию 3: (учитываем, что | x + 1 | 2 = ( x + 1 ) 2 ). Применим метод интервалов:
    1 случай. 2 случай.
Отметим, что из всех изолированных точек, не входящих в ОДЗ, только х = - 1 не является корнем числителя или знаменателя; соответственно в этой точке знак дроби не меняется. Расставим знаки, учитывая, что на самом правом интервале все логарифмы, входящие в левую часть неравенства, положительны: Ответ. (- 7; - 6)U[ - 3; - 2)U(0; 2]. Комментарий. При решении подобных неравенств применяются те же приемы, что и при решении уравнений аналогичного типа (замены, логарифмирование, потенцирование). Как всегда, внимательно следите за ограничениями на ОДЗ. Пример 10. Решить неравенство. log 3 (3 x – 3) + x < log 3 10. Решение. Представим x = log 3 3 x. сделаем замену t = 3 x и решим для t систему неравенств с учетом ОДЗ: Обратная замена: Ответ: (1; log 3 5). Пример 11. Решим неравенство. Решение. Таким образом, решение исходного неравенства: Ответ.

Пример 12. Решим неравенство. Решение. Таким образом, решение исходного неравенства: Ответ. Пример 13. Решить неравенство. Решение. Вновь перед нами в левой части выражение вида Наиболее удобный прием для упрощения – логарифмирование. Прологарифмируем обе части по основанию 4 и составим систему неравенств с учетом ОДЗ: Решим последнее неравенство методом интервалов.

    1 случай. не входит в ОДЗ. 2 случай. точка лежит внутри ОДЗ, знак дроби в ней меняется.
При достаточно больших значениях х аргумент логарифма, стоящего в числителе, меньше 1, то есть числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен. С учетом этого расставим знаки на интервалах: Таким образом, 4 < x < 5 или . Ответ. Пример 14. Решить неравенство. Решение. Задаем ОДЗ и логарифмируем обе части по основанию 3: Заметим, что х 2 – 10х + 25 = (х – 5) 2. Тогда Последнее неравенство решаем методом интервалов.
    1 случай. сама эта точка в ОДЗ не входит, но знак первого множителя в ней меняется. 2 случай.
Расставим знаки на интервалах (при x > 11 левая часть положительна): Ответ. . Пример 15. Решить неравенство. Решение. Воспользуемся одним из свойств логарифмов (см. занятие 13): Неравенство сразу резко упрощается: и, с учетом ОДЗ, Ответ. (0; 27]. Пример 16. Решить неравенство. Решение. Упростим второй множитель левой части: Этот результат позволяет сделать замену: t = log 2 (2 x – 3) и решать неравенство: или Сделаем обратную замену.
    1 случай. 2 случай.
Ответ. Пример 17. Решить неравенство. Решение. Замена: Решим неравенство для или Обратная замена:
    1 случай. 2 случай.
Ответ. Пример 18. Решить неравенство. Решение. Учтем ОДЗ: и прологарифмируем обе части по основанию 2: Замена: или
    1 случай. 2 случай.
Ответ. Пример 19. Решить неравенство. Решение. ОДЗ: (подмодульное выражение не должно равняться нулю). Прологарифмируем обе части по основанию 2: и решим полученное неравенство методом интервалов.
    1 случай. х 2 – 18х + 56 = 0, х 1 = 4, х 2 = 14. 2 случай.
Расставим знаки на интервалах, учитывая, что при x > 14 левая часть неравенства положительна, а при х = 6 ни один из множителей не меняет знак: Ответ. Видеолекция «Логарифмические неравенства».

Видеолекция «Логарифмические неравенства. Продолжение».



как решать логарифмические неравенства с квадратом:Простейшее логарифмическое неравенство сводится к одной из двух систем неравенств: 1 случай. Если a > 1. 2 случай. Если , 0 < a < 1 . Пример 1. Решить неравенство. Решение. Используя

как решать логарифмические неравенства с квадратом