Как решить систему уравнения mathcad


/ фле / Mathcad

Численное решение нелинейного уравнения

Для простейших уравнений вида f (x ) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функцииroot (Рисунок 5).

Рисунок 5. Решение уравнений средствами Mathcad

Возвращает значение х1. принадлежащее отрезку[a,b]. при котором выражение или функцияf(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

f(х1,x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 - - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функцииroot необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

Приближенные значения корней (начальные приближения ) могут быть:

Известны из физического смысла задачи.

Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.

Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравненияf (x ) = 0 - это точки пересечения графика функцииf (x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функцииf (x ) и отметить точки пересеченияf (x ) с осьюОх, или отметить на осиОх отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнениеf (x ) = 0равносильным ему уравнением:

где функции f1 (x ) иf2 (x ) - более простые, чем функция f (x ). Тогда, построив графики функцийу = f1 (x ) иу =f2 (x ), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Графически отделить корни уравнения:

Уравнение (1) удобно переписать в виде равенства:

Отсюда ясно, что корни уравнения (1) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболыy = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (1) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Отсутствие сходимости функцииroot

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.

Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Выражение имеет локальные max иmin между начальным приближением и корнями.

Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f (x ). Он поможет выяснить наличие корней уравненияf (x ) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будетroot сходиться.

Рекомендации по использованию функции root

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функцияroot будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функцияroot будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен.

Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида. Чтобы изменить значениеTOLдля всего рабочего документа, выберите командуМатематикаПараметры…ПеременныеДопуск сходимости (TOL) .

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f (x ) имеет малый наклон около искомого корня, функция root (f (x ),x ) можетсходиться к значениюr. отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значениеTOL. Другой вариант заключается в замене уравненияf (x ) = 0 наg (x ) = 0

Для выражения f (x ) с известным корнема нахождение дополнительных корнейf (x) эквивалентно поиску корней уравненияh (x ) =f (x )/(xa ). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выраженияh (x ), чем пробовать искать другой корень уравненияf (x ) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

лучше использовать функцию polyroots. нежелиroot. В отличие от функцииroot, функцияpolyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Рисунок 6. Определение корней полинома

Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в вектореv длиныn + 1. Возвращает вектор длиныn. состоящий из корней полинома.

v вектор, содержащий коэффициенты полинома.

Вектор v удобно создавать использую командуСимволыКоэффициентыполинома. Рисунок 6 иллюстрирует определение корней полинома средствами Mathcad.

Решение систем уравнений

MathCADдает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,и.

Введите любое выражение, которое включает функцию Find. например:а :=Find (х, у ).

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given. уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функциюFind. называютблокомрешенияуравнений .

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

Ограничения со знаком .

Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функцииFind .

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Определить переменную с помощью функции Find :

Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа.

Определить другую функцию с помощью Find

Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a,b,c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.

Рисунок 7.

Решение систем уравнений в MathCAD

Поставленная задача может не иметь решения.

Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Пример 1 Рисунка 7 иллюстрирует решение системы уравнений в MathCAD.

Решение матричных 2 уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительноn неизвестныхх1 ,х2. …,хn :

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve .

Возвращается вектор решения x такой, чтоАх =b.

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрицеА .

На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

Рисунок 8. Решение матричных уравнений

Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению,Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функцииMinerr такие же, как и функции Find.

Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.

Символьное решение уравнений

В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда СимволыПеременныеВычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

Чтобы решить уравнение символьно необходимо:

Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш [Ctrl]= ).

Выделить переменную. относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.

Выбрать пункт меню СимволыПеременныеВычислить .

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. ЕслиMathCADне находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

Напечатать ключевое слово Given .

Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется[Ctrl]= .

Напечатать функцию Find. соответствующую системе уравнений.

Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит символьный знак равенства.

Щелкнуть мышью на функции Find .

Пример 2 Рисунка 7 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в MathCAD.

Порядок выполнения лабораторной работы2

Упражнение 1. Построить график функцииf (x ) (Таблица 1) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнениеf (x )= 0 с точностью= 10 – 4 с помощью встроенной функции Mathcadroot ;

Варианты упражнения 1



как решить систему уравнения mathcad:/ фле / Mathcad Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x ) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root (Рисунок 5). Рисунок 5. Решение

как решить систему уравнения mathcad